أرقام
تبدأ الأعداد الصحيحة بمفهوم الأرقام. هناك عشرة أرقام: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9.
يعد موضع الأرقام أمرًا بالغ الأهمية في نظام الأرقام لدينا. خذ الرقم 11537 على سبيل المثال. ويمكن تمثيل ذلك على النحو التالي في جدول القيمة المكانية.
| عشرة آلاف | الآلاف | مئات | عشرات | منها |
| 11 | 0 | 5 | 3 | 7 |
عدد صحيح
تشكل الأرقام الموجبة والصفر والسالبة مجموعة من الأرقام تعرف باسم مجموعة الأعداد الصحيحة.
الأعداد الصحيحة تشبه الأعداد الصحيحة، ولكنها يمكن أن تكون سالبة أيضًا، مثل -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، 4...
- عدد صحيح موجب: جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الصفر هي أعداد صحيحة موجبة، مثل 1، 2، 3، 4، 5، وهكذا. لديها علامة إيجابية.
- عدد صحيح سلبي: الأعداد الصحيحة السالبة هي أرقام أقل من الصفر، مثل -1، -2، -3، -4، -5، وهكذا. ويقال أن علامتها سلبية.
- عدد صحيح صفر: الصفر هو عدد صحيح ليس له قيمة موجبة أو سالبة.
خط الأعداد الصحيحة
الرقم صفر ليس موجبًا ولا سالبًا.
الأعداد الطبيعية والصفر والأعداد السالبة كلها أمثلة على الأعداد الصحيحة. لا توجد مكونات كسرية فيها. هناك جوانب مختلفة للأعداد الصحيحة تجعل من السهل علينا إجراء العمليات الحسابية المبنية على الأعداد الصحيحة. في هذا الدرس سوف ندرس خواص الأعداد الصحيحة.
نوع الأعداد الصحيحة
أعداد صحيحة متتالية
ارقام متتابعه هي أعداد صحيحة تأتي بعد بعضها البعض على التوالي، وكل رقم يزيد بمقدار واحد عن الذي قبله، على سبيل المثال 91، 92، 93، 94، إلخ...
يمكن التعبير عن الأعداد الصحيحة المتتالية على نطاق أوسع مثل n، n +1، n + 2، n + 3...، حيث n هو عدد صحيح.
الأعداد الصحيحة الفردية والزوجية
لا يمكن قسمة الأعداد الصحيحة الفردية بالتساوي على اثنين، مثل -3، -11، -87، 1، 15، 47... يجب دائمًا أن ينتهي العدد الصحيح الفردي بأحد الأرقام التالية: 1، 3، 5، 7، أو 9.
أفضل 10 جامعات في كولومبيا البريطانيةحتى الأعداد الصحيحة يمكن تقسيمها بالتساوي على اثنين، مثل -2، -34، 0، 2، 90... العدد الصحيح الزوجي هو دائمًا رقم ينتهي بالأرقام 0، 2، 4، 6، أو 8.
يعتبر الصفر عددا صحيحا.
افحص الرقم الموجود في موقع الرقم لتحديد ما إذا كان العدد الصحيح زوجيًا أم فرديًا. يشير هذا الرقم الفردي إلى ما إذا كان العدد الصحيح الكامل فرديًا أم زوجيًا.
على سبيل المثال، الرقم 9,395 هو عدد صحيح فردي لأنه ينتهي بالرقم 5، وهو أيضًا عدد صحيح فردي. وبالمثل، فإن العدد 902 هو عدد صحيح زوجي لأنه ينتهي بالرقم اثنين.
خصائص العدد الصحيح
وفيما يلي خصائص مختلفة من الأعداد الصحيحة.
خاصية التبديل
الخاصية التبادلية للأعداد الصحيحة تشبه الخاصية الترابطية؛ والفرق الرئيسي هو أننا نستخدم رقمين فقط في هذه الخاصية.
وفقا للخاصية التبادلية للأعداد الصحيحة في الجمع والضرب، فإن نتيجة جمع وضرب عددين صحيحين هي نفسها دائما بغض النظر عن ترتيبها.
لا تنطبق هذه الخاصية على عمليات الطرح أو القسمة. النظر في الخاصية التبادلية للأعداد الصحيحة في سياقات الجمع والطرح والضرب والقسمة.
ملكية مشتركة
تؤكد الخاصية الترابطية للأعداد تحت الجمع والضرب أن نتيجة جمع وضرب أكثر من عددين صحيحين هي نفسها دائمًا، بغض النظر عن كيفية تجميع الأعداد الصحيحة.
لا تنطبق الخاصية الترابطية للأعداد الصحيحة على الطرح والقسمة لأن ترتيب الأعداد أمر بالغ الأهمية ولا يمكن تعديله في حالة الطرح والقسمة.
خاصية التوزيع
لتسهيل العمليات الحسابية، تؤكد خاصية التوزيع للأعداد الصحيحة أن عملية الضرب يمكن أن تتوزع على الجمع والطرح.
خاصية الإغلاق
تنص خاصية إغلاق الأعداد الصحيحة على أن جمع وطرح وضرب عددين صحيحين يؤدي دائمًا إلى الحصول على عدد صحيح.
لا تنطبق خاصية إغلاق الأعداد الصحيحة على تقسيم الأعداد الصحيحة لأن قسمة عددين صحيحين لا تؤدي دائمًا إلى عدد صحيح. على سبيل المثال، نحن نعلم أن 3 و 4 أعداد صحيحة، ولكن 3/4 = 0.75 ليس كذلك. ونتيجة لذلك، لا تنطبق خاصية الإغلاق على قسمة الأعداد الصحيحة. وهو يحمل لعدد صحيح الجمع والطرح والضرب.
عنصر الهوية
تؤكد خاصية الهوية لإضافة عدد صحيح أن كل رقم يضاف إلى 0 ينتج نفس الرقم. على سبيل المثال، إذا كان 'a' عددًا صحيحًا، فهذا يعني أن a + 0 = 0 + a = a. خذ بعين الاعتبار العدد الصحيح السالب -6 كمثال. نحصل على -6 إذا أضفنا 0 إلى -6. النتيجة تبقى دون تغيير.
ونتيجة لذلك، يمكننا القول بأن 0 هو الهوية المضافة أو عنصر الهوية لإضافة عدد صحيح.
انظر إلى الرسم أدناه للحصول على نظرة عامة على تطبيق خصائص الأعداد الصحيحة المختلفة على أربع عمليات حسابية أساسية على الأعداد الصحيحة.
| الممتلكات | العمليات | |||
| إضافة | طرح | تضاعف | تقسيم | |
| الملكية التواصلية | أ + ب = ب + أ | أ - ب ≠ ب - أ | أ × ب = ب × أ | أ ÷ ب ≠ ب ÷ أ |
| ملكية مشتركة | أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج | (أ – ب) – ج ≠ أ – (ب – ج) | أ × (ب × ج) = أ × (ب × ج) | (أ ÷ ب) ÷ ج ≠ أ ÷ (ب ÷ ج) |
| خاصية التوزيع | أ × (ب + ج) = أ × ب + أ × ج | أ × (ب − ج) = أ × ب − أ × ج | غير قابل للتطبيق | غير قابل للتطبيق |
| خاصية الإغلاق | أ + ب ∈ ض | أ – ب ∈ ض | أ × ب ∈ ض | أ ÷ ب ∉ ض |
| خاصية الهوية | أ + 0 = أ =0 + أ | أ – 0 = أ ≠ 0 – أ | أ × 1 = أ = 1 × أ | أ ÷ 1 = أ ≠ 1 ÷ أ |
أمثلة محلولة لخصائص الأعداد الصحيحة
1) في الاختبار، يتم منح (+8) درجة لكل إجابة صحيحة ويتم خصم (-2) درجة لكل إجابة غير صحيحة. (i) أجاب أنمول على جميع الأسئلة وحصل على 50 درجة على الرغم من حصوله على 10 إجابات صحيحة. (الثاني) أجاب فيجاي أيضًا على جميع الأسئلة وحصل على (-22) درجة على الرغم من تقديم 3 إجابات صحيحة.
كم عدد الإجابات الخاطئة التي قدموها؟
الجواب.
إجابة واحدة صحيحة = 8 درجات.
ونتيجة لذلك فإن الدرجات المسموح بها لـ 10 إجابات صحيحة = 8 × 10 = 80.
أنمول لديه درجة 50.
العلامات الممنوحة للإجابات غير المناسبة = 50 - 80 = -30.
يتم خصم العلامات لكل إجابة غير صحيحة = -2.
ونتيجة لذلك، فإن عدد الإجابات الخاطئة = (–30) / (–2) = 15.
(الثاني) الدرجات الممنوحة لثلاث إجابات صحيحة = 3 × 8 = 3.
نتيجة فيجاي هي -22.
العلامات الممنوحة للإجابات الخاطئة = –22 – 24= –46.
يتم خصم العلامات لكل إجابة غير صحيحة = -2.
ونتيجة لذلك، فإن عدد الإجابات الخاطئة = (–46) / (–2) = 23.
2) حل: (−12) × (−3) × 4× (−6) =؟
الجواب.
(−12) × (−3) × 4 × (−6) = (36)× 4 × (−6)
=144 × (−6)
=−864.
3) أكمل الفراغ:
−112 × _______ =+112
الجواب.
-1
−112 × (−1) = +112.
الأسئلة الشائعة
1) هل يوجد عدد صحيح لا يمكن أن يكون عدداً صحيحاً؟
الجواب.
الأعداد الصحيحة تبدأ بالصفر وتنتهي باللانهاية. على سبيل المثال، 0، 1، 2، 3، 4، وهكذا. في المقابل، الأعداد الصحيحة هي أرقام يمكن أن تكون سلبية وإيجابية. على سبيل المثال، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، وهكذا. ونتيجة لذلك، كل عدد صحيح هو عدد صحيح، ولكن ليس كل عدد صحيح هو عدد صحيح.
2) أي من المعادلات التالية توضح خاصية التوزيع للضرب؟
الجواب.
يتم توضيح خاصية التوزيع للضرب من خلال المعادلة a (b + c) = ab + a c. بسبب متغير واحد أو أكثر، لا يمكن تبسيط المصطلحات الموجودة بين القوسين هنا.
3) ماذا تعني "خاصية الإبدال للجمع"؟
الجواب.
يمكن جمع الأعداد الطبيعية بأي تسلسل، وستكون النتيجة واحدة، وذلك بفضل خاصية الجمع التبادلية. صيغة هذه الخاصية هي a + b = b + a، والتي تنطبق على أي a، b ∈ N. على سبيل المثال، 1 + 2 أو 2 + 1، كلاهما سيعطيان نفس الإجابة.
الخاتمة
لذلك، نأمل أن تتمكن الآن من فهم خصائص الأعداد الصحيحة بوضوح. Vedantu هنا لمساعدتك في تعلم مبادئ الأعداد الصحيحة، وهو أحد الفصول الأساسية في الرياضيات. فريق المعلمين لدينا موجود للإجابة على أسئلتك ومساعدتك في تحقيق نتائج جيدة في الامتحانات.
